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Capítulo 1

El Espacio R

n

Teorema. Un conjunto es cerrado si y sólo si contiene a todos sus puntos

frontera.

Ejemplos:

1.

A = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 2 } es cerrado: sus puntos frontera son x = 1 y x = 2,

y ambos pertenecen a

A.

2.

A = { (x, y) ∈ R

2

|(x − 2)

2

+ (y − 2)

2

≤ 1 } es cerrado: sus puntos frontera

son todos los puntos de la circunferencia, que pertenecen a

A.

3.

A = { (x, y) ∈ R

2

|(x − 2)

2

+ (y − 2)

2

= 1 } es cerrado: todos sus puntos son

frontera.

4.

A = {(x, y) ∈ R

2

| x

2

+ y

2

≤ 1 } ∪ {(2, 2)} es cerrado: A contiene toda su

frontera, que consiste en los puntos de la circunferencia, junto con el punto

(2, 2).

60


1.5

Conjuntos abiertos, cerrados, acotados, compactos, convexos

5.

A = R

2

+

= {(x, y) ∈ R

2

| x, y ≥ 0 } es cerrado: A contiene a toda su frontera,

que son los ejes coordenados, en su parte no negativa.

6.

A = {x ∈ R | x ≥ 2 } es cerrado: A contiene a toda su frontera, que es el punto

x = 2.

No necesariamente un conjunto debe ser abierto o cerrado. Exis-

ten conjuntos que no son ni abiertos ni cerrados, como es el caso de

A = {(x, y) ∈ R

2

| 1 ≤ x < 5 y 1 ≤ y < 3 }, ya que éste contiene al-

gunos de sus puntos frontera (de modo que no es abierto), pero no los contiene a

todos ellos (de modo que no es cerrado).

Teorema. Un conjunto es cerrado si y sólo si su complemento es abierto.

A partir de este teorema se puede demostrar que existen dos (y sólo dos)

conjuntos que son abiertos y cerrados a la vez, que son el conjunto R

n

y el conjunto

vacío, ∅

. Para ello, nota primero que R

n

es el complemento de ∅

, y viceversa. El

argumento es el siguiente. Por una parte, R

n

es abierto, ya que no contiene puntos

frontera. En consecuencia, ∅ es cerrado. Por otra parte, ∅ es abierto, ya que no

contiene puntos frontera (de hecho, no contiene ningún punto). En consecuencia,

R

n

es cerrado.

61



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