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Capítulo 1

El Espacio R

n

Teorema. a) La intersección de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado.

b) La unión finita de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado.

De acuerdo con el inciso b) de este teorema, sólo se puede asegurar que la unión

de cerrados es un conjunto cerrado cuando el número de estos conjuntos es finito.

El siguiente ejemplo ilustra cómo la unión infinita de conjunto cerrados puede

resultar en un conjunto abierto. Considera el conjunto de intervalos

I

n

definidos

por

I

n

= [−n, n],

para todo

n ∈ N. Es claro que cada I

n

es un conjunto cerrado. La unión de todos

ellos es el conjunto

n∈N

I

n

= I

1

∪ I

2

∪ · · · ∪ I

n

= R,

que es un conjunto abierto (el conjunto de los reales no contiene puntos frontera).

Definición. Un conjunto

A ⊂ R

n

es un conjunto acotado si existe una vecindad

con centro en el origen que contiene totalmente a

A, es decir, si existe δ > 0 tal que

A ⊂ V

δ

(0).

En otras palabras, un conjunto es acotado si no contiene puntos arbitrariamente

alejados del origen.

Ejemplos:

1.

A = {(x, y) ∈ R

2

| 1 < x < 2 , 1 < y < 2 } es acotado: cualquier vecindad

V

δ

(0) de radio δ >

8 contiene totalmente los puntos de A.

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