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1.5

Conjuntos abiertos, cerrados, acotados, compactos, convexos

2.

A = {x ∈ R | 1 < x ≤ 2 } es acotado: cualquier vecindad V

δ

(0) de radio δ > 2

contiene totalmente los puntos de

A.

3.

A = R

2

+

= { (x, y) ∈ R

2

| x ≥ 0, y ≥ 0 } no es un conjunto acotado, pero sí es

cerrado.

Los ejemplos anteriores muestran que un conjunto puede, o no, ser acotado,

independientemente de si es abierto, cerrado o ninguno de estos.

Definición. Un conjunto

A ⊂ R

n

es un conjunto compacto si

A es cerrado y

acotado.

Ejemplos:

1.

A = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 2 } es compacto, ya que es cerrado y acotado.

2.

A = {x ∈ R | 1 < x ≤ 2 } no es compacto, ya que es acotado, pero no cerrado.

63


Capítulo 1

El Espacio R

n

3.

A = {(x, y) ∈ R

2

| 1 ≤ x ≤ 2 , 1 ≤ y ≤ 2 } es compacto, ya que es cerrado y

acotado.

4.

A = {(x, y) ∈ R

2

| 1 ≤ x ≤ 2 } no es compacto, ya que es cerrado, pero no

acotado (la variable

y es libre).

Definición. Un conjunto

A ⊂ R

n

es un conjunto convexo si para cualquier par

de puntos −

x

1

, −

x

2

∈ A el segmento de recta que los une también está en A, es

decir, si

t−

x

1

+ (1 − t)−

x

2

∈ A,

para todo

0 ≤ t ≤ 1.

En esta definición, nota que la expresión

t−

x

1

+ (1 − t)−

x

2

= −

x

2

+ t(−

x

1

− −

x

2

),

64



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