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1.5

Conjuntos abiertos, cerrados, acotados, compactos, convexos

conocida como combinación convexa, es la ecuación paramétrica de la recta que

contiene al punto −

x

2

y está en la dirección −

x

1

− −

x

2

;

al limitar el dominio de

t,

entre

0 y 1, se obtiene el segmento de recta entre los puntos −

x

1

y −

x

2

.

Ejemplos:

1.

A = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 2 } es convexo.

2.

A = {x ∈ R | 1 < x ≤ 2 } es convexo.

3.

A = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 2 } ∪ {x ∈ R | 3 ≤ x ≤ 4 } no es convexo.

4.

A = {(x, y) ∈ R

2

| x + y = 1} es convexo.

65


Capítulo 1

El Espacio R

n

5.

A = {(x, y) ∈ R

2

| x

2

+y

2

≤ 1} es convexo.

6.

A = {(x, y) ∈ R

2

| x

2

+y

2

= 1 } no es convexo.

Los conjuntos convexos son muy importantes en economía. Por ejemplo,

similarmente al ejemplo 4, tenemos que las canastas

(x

1

, x

2

) en R

2

+

que

satisfacen una restricción presupuestal de la forma

I = p

1

x

1

+ p

2

x

2

, con

I, p

1

y

p

2

fijos, forman un conjunto convexo. Como un segundo ejemplo

podemos considerar las preferencias de un consumidor, dadas por el conjunto

P =

(x

1

, x

2

) ∈ R

2

+

| u((x

1

, x

2

)) ≥ u

0

de las canastas

(x

1

, x

2

) que dan

una utilidad

u mayor o igual a un valor u

0

. Si suponemos que

P es convexo

y −

x , −

x

∈ P , entonces cualquier canasta intermedia −

z = t−

x + (1 − t)−

x

,

0 ≤ t ≤ 1, también dará una utilidad mayor o igual a u

0

.

u(−

x ) ≥ u

0

y

u(−

x

) ≥ u

0

u(z) ≥ u

0

66



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