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1.5

Conjuntos abiertos, cerrados, acotados, compactos, convexos

En los siguientes ejemplos se presenta cómo demostrar formalmente que un

conjunto es convexo.

Ejemplos:

1. Demuestra que el conjunto

A = { (x, y) ∈ R

2

| x + y = 1 } es convexo.

Sean −

x

1

= (x

1

, y

1

), −

x

2

= (x

2

, y

2

) ∈ A. Por lo tanto,

x

1

+ y

1

= 1 y x

2

+ y

2

= 1.

Sea −

z = t−

x

1

+ (1 − t)−

x

2

, con

0 ≤ t ≤ 1, de modo que

z = t(x

1

, y

1

) + (1 − t)(x

2

, y

2

)

= (tx

1

+ (1 − t)x

2

, ty

1

+ (1 − t)y

2

)

= (z

1

, z

2

).

Así,

z

1

+ z

2

= tx

1

+ (1 − t)x

2

+ ty

1

+ (1 − t)y

2

= t(x

1

+ y

1

) + (1 − t)(x

2

+ y

2

)

= t(1) + (1 − t)(1) = 1,

de donde concluimos que −

z = (z

1

, z

2

) ∈ A. Por lo tanto, A es convexo.

2. Demuestra que el conjunto

A = { (x, y) ∈ R

2

| a ≤ x ≤ b } es convexo.

Sean −

x

1

= (x

1

, y

1

), −

x

2

= (x

2

, y

2

) ∈ A. Por lo tanto,

a ≤ x

1

≤ b y a ≤ x

2

≤ b.

Sea −

z = t−

x

1

+ (1 − t)−

x

2

, con

0 ≤ t ≤ 1, de modo que

z = t(x

1

, y

1

) + (1 − t)(x

2

, y

2

)

= (tx

1

+ (1 − t)x

2

, ty

1

+ (1 − t)y

2

)

= (z

1

, z

2

).

Como

t ≥ 0 y 1 − t ≥ 0, por lo tanto

ta ≤ tx

1

≤ tb y (1 − t)a ≤ (1 − t)x

2

≤ (1 − t)b.

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