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Capítulo 1

El Espacio R

n

Sumando ambas expresiones tenemos

ta + (1 − t)a ≤ tx

1

+ (1 − t)x

2

≤ tb + (1 − t)b,

es decir,

a ≤ tx

1

+ (1 − t)x

2

≤ b,

y, por lo tanto,

a ≤ z

1

≤ b.

Así, −

z = (z

1

, z

2

) ∈ A, de modo que A es convexo.

Teorema. La intersección de conjuntos convexos es un conjunto convexo.

Demostración:

Sean

A y B dos conjuntos convexos. Si A ∩ B = ∅, entonces A ∩ B es

convexo (el vacío es un conjunto convexo). Supongamos que

A ∩ B = ∅ y sean

x , ∈ −

x

A ∩ B. Por lo tanto, −

x , −

x

∈ A y −

x , −

x

∈ B. Sea −

z = t−

x + (1 − t)−

x

,

con

0 ≤ t ≤ 1. Como A es convexo y −

x , −

x

∈ A, por lo tanto

z = t−

x + (1 − t)−

x

∈ A.

Como

B es convexo y −

x , −

x

∈ B, por lo tanto −

x

z = t−

x + (1 − t)−

x

∈ B.

Por lo tanto,

z ∈ A ∩ B,

de modo que

A ∩ B es convexo.

Por último, es importante señalar que la unión de conjuntos convexos no es un

conjunto convexo, en general.

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