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Capítulo 2

Funciones de varias variables

En este capítulo extenderemos la definición de función al caso de varias

variables, presentando diversos conceptos relacionados, tales como el de

conjuntos de nivel de la función. Posteriormente, presentaremos algunas

superficies cuadráticas de interés. Concluiremos estudiando los conceptos de

límite y continuidad.

2.1 Dominio e imagen. Representación geométrica

Definición. Sea

S ⊂ R

n

. Una función real, o campo escalar,

f : S → R,

es una regla de correspondencia que a cada elemento

(x

1

, x

2

, . . . , x

n

) ∈ S

le asigna un único número

w = f(x

1

, x

2

, . . . , x

n

) ∈ R. El conjunto S es el

dominio de y R es el contradominio de f.

En la expresión

w = f (x

1

, x

2

, . . . , x

n

), los elementos (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) ∈ S

son las variables independientes, y

w ∈ R es la variable dependiente. Así,

por ejemplo, para la función

f : R

2

→ R, definida por f(x, y) = x

2

+ y

2

,

las variables independientes son todas las parejas

(x, y) ∈ R

2

y la variable

dependiente es

z ∈ R, que depende de las anteriores a través de z = x

2

+ y

2

.

Cuando el dominio de una función

f (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) no se especifica

a priori, debe entenderse como tal al conjunto más grande de elementos

(x

1

, x

2

, . . . , x

n

) ∈ R

n

para los que

f toma valores en R (por ejemplo, que no

se divida por cero o se extraiga la raíz cuadrada de un número negativo). A

este conjunto se le conoce como el dominio natural

D

f

de

f, dado por

D

f

= { (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) ∈ R

n

| f(x

1

, x

2

, . . . , x

n

) ∈ R } .

Por otra parte, la imagen rango

I

f

de la función

f es el conjunto de valores

w en el contradominio, R, obtenidos al aplicar la regla f a los elementos de

D

f

, es decir,

I

f

= { w ∈ R | w = f(x

1

, x

2

, . . . , x

n

), para todo (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) ∈ D

f

} .

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