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Capítulo 2

Funciones de varias variables

Ejemplos:

1. Sea

z = f (x, y), con f(x, y) =

1

x

2

+ y

2

una función en R

3

. El dominio natural

D

f

se obtiene al pedir que el denominador sea diferente de cero

(x

2

+ y

2

= 0).

Así,

D

f

=

(x, y) ∈ R

2

x

2

+ y

2

= 0

= R

2

\{(0, 0)}.

Como

f sólo puede tomar valores positivos, entonces su imagen I

f

es el

conjunto

I

f

= { z ∈ R | z > 0 } = R

+

.

2. Sea

z = f (x, y), con f (x, y) = −

1

9 − x

2

− y

2

una función en R

3

. Para

encontrar

D

f

pedimos que el denominador sea diferente de cero

(9−x

2

−y

2

= 0)

y el radicando sea no negativo

(9 − x

2

− y

2

≥ 0), es decir, 9 − x

2

− y

2

> 0. Así,

D

f

=

(x, y) ∈ R

2

x

2

+ y

2

< 9

.

Como

f sólo puede tomar valores negativos y no mayores que −1/3, entonces

su imagen

I

f

es el conjunto

I

f

= { z ∈ R | z ≤ −1/3 } .

3. Sea

z = f (x, y), con f (x, y) = ln(x + y) una función en R

3

. En este caso,

D

f

=

(x, y) ∈ R

2

| x + y > 0

I

f

= { z ∈ R } = R.

4. Sea

w = f (x, y, z), con f (x, y, z) =

x ln z

y

una función en R

4

. En este caso,

D

f

=

(x, y, z) ∈ R

3

| y = 0, z > 0

I

f

= { w ∈ R } = R.

5. Sea

w = f (x, y, z), con f (x, y, z) = 1 −

1 − x

2

− y

2

una función en R

4

. En

este caso,

D

f

=

(x, y, z) ∈ R

3

x

2

+ y

2

≤ 1

I

f

= { w ∈ R | 0 ≤ w ≤ 1 } .

En economía hay varios ejemplos de funciones, como las que se presentan a

continuación.

70



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