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2.1

Dominio e imagen. Representación geométrica

1. Las funciones de producción Cobb-Douglas,

P : R

2

+

→ R, dadas por

P (L, K) = AL

α

K

1−α

,

en donde

P denota la producción, L el trabajo y K el capital, y donde A > 0 y

0 < α < 1 son constantes.

2. Una función de costo lineal,

C : R

2

+

→ R, dada por

C(L, K) = wL + rK,

donde

C denota el costo, L el trabajo y K el capital, y donde w > 0 y r > 0

denotan el salario y la tasa de interés, respectivamente.

3. Las funciones de utilidad,

u : R

n

++

→ R, dadas por

u(x

1

, x

2

, . . . , x

n

) = α

1

ln x

1

+ α

2

ln x

2

+ · · · + α

n

ln x

n

= ln(x

α

1

1

· x

α

2

2

· . . . · x

α

n

n

),

en donde

u denota la utilidad para una canasta (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) de n bienes, con

x

i

> 0, y donde cada α

i

es constante, con

0 < α

i

< 1 y α

1

+ α

2

+ . . . + α

n

= 1.

Geométricamente, la función

f : S ⊂ R

n

→ R representa un objeto en

R

n+1

. Si

n = 1, la ecuación y = f (x) representa una curva en R

2

. Si n = 2,

la ecuación

z = f (x, y) representa una superficie en R

3

. Si n ≥ 3, la ecuación

w = f (x

1

, x

2

, . . . , x

n

representa una hipersuperficie en R

n+1

(sin representación

gráfica).

Ejemplos:

1. La ecuación

2x + 3y + 6z = 12 puede pensarse como una función lineal

f : R

2

→ R, dada por z = f(x, y) = 2 −

1

3

x −

1

2

y, cuya gráfica corresponde a

un plano en R

3

.

D

f

=

(x, y) ∈ R

2

= R

2

I

f

= { z ∈ R } = R.

71



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