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Capítulo 2

Funciones de varias variables

2. La ecuación

x

2

+ y

2

+ z

2

= 4, con z ≥ 0, puede pensarse como una función

f : D

f

⊂ R

2

→ R, dada por z = f(x, y) =

4 − x

2

− y

2

, cuya gráfica

corresponde a la parte superior de una esfera en R

3

.

D

f

=

(x, y) ∈ R

2

x

2

+ y

2

≤ 4

I

f

= { z ∈ R |0 ≤ z ≤ 2 } .

2.2 Conjuntos de nivel

Definición. Un conjunto de nivel de una hipersuperficie

w = f(x

1

, x

2

, . . . , x

n

) en

R

n+1

es el conjunto de puntos

(x

1

, x

2

, . . . , x

n

) ∈ D

f

tales que

w toma un valor

constante

c, es decir,

f (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) = c.

En particular, si

n = 2 el conjunto es una curva de nivel y si n = 3 es una superficie

de nivel.

Los conjuntos de nivel pertenecen al mismo espacio que el dominio de la

función. Así, si

f está en R

n+1

, sus conjuntos de nivel están en R

n

.

72



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