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2.2

Conjuntos de nivel

Ejemplos:

1. Identifica los conjuntos de nivel de la función

z = f(x, y), con f : R

2

→ R

definida por

f (x, y) = x

2

+ y

2

. ¿Cuál de estos contiene al punto

P (−3, 4)?

Como veremos en la sección 2.3, la superficie

z = x

2

+ y

2

es un paraboloide en

R

3

, según se ilustra en la figura de la izquierda. En la figura de la derecha se

muestran algunas de sus curvas de nivel en R

2

, dadas por las circunferencias

x

2

+ y

2

= c, con centro en el origen y radio

c, c ≥ 0.

La curva de nivel de

f que contiene a P (−3, 4) es tal que (−3)

2

+(4)

2

= 25 = c.

Así, la curva de nivel buscada es

x

2

+ y

2

= 25.

2. Sea

S =

(x, y) ∈ R

2

+

| x + y ≤ 2 . Identifica los conjuntos de nivel de la

función

z = f (x, y), con f : S → R definida por f(x, y) = 2 − x − y.

La superficie

z = 2 − x − y representa la porción del plano x + y + z = 2

correspondiente al primer octante de R

3

, como se muestra en la figura de la

izquierda. En la figura de la derecha se muestran algunas de sus curvas de nivel

en R

2

, dadas por los segmentos de recta x + y = 2 − c, con 0 ≤ c ≤ 2.

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