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2.3

Superficies cuadráticas

6. Identifica los conjuntos de nivel de la función

w = f(x, y, z), con f : R

3

→ R

definida por

f (x, y, z) = x

2

+ y

2

+ z

2

.

La función

w = x

2

+ y

2

+ z

2

representa una hipersuperficie en R

4

, de modo

que no podemos representarla gráficamente. Sus conjuntos de nivel son las

superficies en R

3

, dadas por las esferas x

2

+ y

2

+ z

2

= c con centro en el origen

y radio

c, c ≥ 0.

7. Determina la superficie de nivel de la función

f (x, y, z) = ln(2 − x − y) en R

4

que contiene al punto

P (1, 0, −3).

Las superficies de nivel de

f son los planos x + y = 2 − e

c

en R

3

. En particular,

el plano que contiene al punto

P (1, 0, −3) es tal que 1 + 0 = 2 − e

c

, es decir,

c = 0. Así, la superficie de nivel buscada es x + y = 1 (con z libre).

2.3 Superficies cuadráticas

Definición. Una superficie es un conjunto de puntos

(x, y, z) ∈ R

3

que satisfacen

una relación de la forma

F (x, y, z) = 0.

Así, por ejemplo, la ecuación

x

2

− y

2

+ z

2

= 1 representa una superficie en R

3

.

Cabe señalar que no toda superficie es una función, como veremos a lo largo de

esta sección.

75



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