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Capítulo 2

Funciones de varias variables

Definición. Las trazas de una superficie en R

3

son las curvas formadas por la

intersección de la superficie con cada uno de los planos coordenados.

Por ejemplo, para el plano

2x + y + 3z = 12 en R

3

, su traza

xy es la curva

2x + y = 12,

obtenida de la intersección esta superficie con el plano

z = 0. Similarmente, su

traza

yz es

y + 3z = 12,

obtenida a partir de la intersección con el plano

x = 0, y su traza xz es

2x + 3z = 12,

obtenida a partir de la intersección con el plano

y = 0.

Algunas superficies famosas en R

3

A) Planos

Como ya vimos, un plano

π es cualquier conjunto de puntos de la forma

π =

(x, y, z) ∈ R

3

| ax + by + cz = d ,

donde

a, b, c, d son constantes. En la siguiente figura se muestra la gráfica del

plano, para

a, b, c, d = 0.

76


2.3

Superficies cuadráticas

B) Esferas

Una esfera

S de radio r y centro en (x

0

, y

0

, z

0

) es un conjunto de puntos de la

forma

S =

(x, y, z) ∈ R

3

(x − x

0

)

2

+ (y − y

0

)

2

+ (z − z

0

)

2

= r

2

.

Claramente, si

r = 0 el único elemento de S sería el punto (x

0

, y

0

, z

0

).

Por ejemplo, la ecuación

(x − 1)

2

+ y

2

+ (z + 3)

2

= 4 representa una esfera de

radio 2 y centro en el punto

(1, 0, −3).

C) Cilindros

Definición. Sea

C una curva plana y sea L una recta que no está en el plano de

C. Un cilindro es la superficie formada por el conjunto de todas las rectas paralelas

a

L que cortan a C. A C se le llama la curva generatriz, directriz, del cilindro y a

las rectas paralelas se les llama rectas generatrices. Un cilindro recto es aquel tal

que

L es perpendicular al plano de C.

En el caso particular de un cilindro paralelo a alguno de los ejes coordenados, la

ecuación correspondiente al cilindro no contiene a la variable de ese eje.

Ejemplos:

1. Esboza la gráfica de

x

2

+ z

2

= 1 en R

3

.

Como en esta ecuación no aparece la variable

y, se trata de una superficie en

donde esa variable es libre. La ecuación representa un cilindro circular que

77



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