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Capítulo 2

Funciones de varias variables

se extiende a lo largo del eje

y, cuya curva generatriz C es la circunferencia

x

2

+ z

2

= 1.

2. Esboza la gráfica de

z = y

2

en R

3

.

Como en esta ecuación no aparece la variable

x, se trata de una superficie en

donde esa variable es libre. La ecuación representa un cilindro parabólico que

se extiende a lo largo del eje

x, cuya curva generatriz C es la parábola z = y

2

.

3. Esboza la gráfica de

y = senx en R

3

.

Como en esta ecuación no aparece la variable

z, se trata de una superficie en

donde esa variable es libre. La ecuación representa un cilindro senoidal, cuya

curva generatriz

C es la función y = senx, y que se extiende a lo largo del eje z:

78


2.3

Superficies cuadráticas

D) Superficies cuadráticas

Para estudiar las superficies cuadráticas se necesita conocer el tema de cónicas.

El lector puede encontrar una breve discusión sobre las ecuaciones y gráficas de las

cónicas en el Apéndice A.

Definición. Una superficie cuadrática es la gráfica en R

3

de una ecuación de

segundo grado en las variables

x, y, z, de la forma

Ax

2

+ By

2

+ Cz

2

+ Dxy + Eyz + F xz + Gx + Hy + Iz + J = 0,

con

A, B, . . . , J constantes, y en donde A = 0, B = 0 o C = 0.

Las esferas y algunos tipos de cilindros son casos particulares de superficies

cuadráticas, como se muestra en los siguientes ejemplos.

Ejemplos:

1. La ecuación

y

2

+ 4z

2

= 4 describe a un cilindro elíptico, que corre a lo largo del

eje

x.

2. La ecuación

x

2

− y

2

= 1 describe a un cilindro hiperbólico, que corre a lo

largo del eje

z.

A continuación presentamos algunas de las superficies cuadráticas más notables,

que en general no representan funciones en R

3

. Se discutirán los casos más

simples, en donde las superficies están centradas en el origen, o bien, tendrán a

los ejes coordenados como eje de simetría. En todos los casos, supondremos que

a, b, c = 0.

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