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2.4

Límites y continuidad

2.4 Límites y continuidad

En esta sección definiremos los conceptos de límite y continuidad, necesarios para

establecer el significado de diferenciabilidad para funciones de varias variables,

que se presenta en el capítulo 3. Aunque los resultados que aquí presentamos

son válidos en general para funciones cuyo dominio está en R

n

, los ejemplos y

métodos discutidos se centrarán al caso de funciones con dominio en R

2

.

El concepto de límite para funciones de varias variables es una extensión al de

funciones de una variable. La siguiente figura ilustra el significado geométrico de

que una función de dos variables,

z = f (x, y), tenga un límite L cuando el punto

(x, y) tiende a un punto dado (x

0

, y

0

) en el dominio de f .

Cuando ese límite

L existe, utilizamos la notación

l´ım

(

x,y)→(x

0

,y

0

)

f (x, y) = L.

Desde el punto de vista formal, el límite de

f se define de la siguiente manera.

Definición. Sea

f una función definida en todo punto −

x del interior de una

vecindad con centro en −

x

0

, excepto quizá en −

x

0

. Se dice que f tiene límite

L

cuando −

x tiende a −

x

0

, y se escribe

l´ım

x →−

x

0

f (−

x ) = L,

si para cada número

ε > 0 existe un correspondiente número δ(ε) > 0 tal que para

todo

x en el dominio de f

0 < ||−

x −−

x

0

|| < δ

|f(−

x ) − L| < ε.

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