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Capítulo 2

Funciones de varias variables

Cabe señalar que la definición de límite también se aplica al caso de puntos

frontera −

x

0

que no estén en el dominio, siempre y cuando los puntos −

x sí lo estén.

Ejemplos:

1. Demuestra formalmente que

l´ım

(

x,y)→(0,0)

x = 0.

Para cada número

ε > 0 arbitrario queremos encontrar un correspondiente

número

δ(ε) tal que

0 < −

x −

0

< δ

|x−0| < ε,

es decir,

0 <

x

2

+ y

2

< δ

|x| < ε.

Para ello, nota que

|x| =

x

2

x

2

+ y

2

< δ,

por lo que simplemente puedes tomar

δ(ε) = ε.

2. Demuestra formalmente que

l´ım

(

x,y)→(0,0)

x

2

x

2

+ y

2

= 0.

Para cada

ε > 0 buscamos una δ(ε) tal que

0 < −

x −

0

< δ

x

2

x

2

+ y

2

−0 < ε,

es decir,

0 <

x

2

+ y

2

< δ

x

2

x

2

+ y

2

< ε.

Para ello, nota que

0 <

x

2

x

2

+ y

2

x

2

+ y

2

x

2

+ y

2

=

x

2

+ y

2

< δ,

84



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