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2.4

Límites y continuidad

por lo que puedes tomar

δ(ε) = ε.

3. Demuestra formalmente que

l´ım

(

x,y)→(0,0)

2x

2

y

x

2

+ y

2

= 0.

Para cada

ε > 0 buscamos una δ(ε) tal que

0 < −

x −

0

< δ

2x

2

y

x

2

+ y

2

−0 < ε,

es decir,

0 <

x

2

+ y

2

< δ

2x

2

y

x

2

+ y

2

< ε.

Como

0 ≤ |y| =

y

2

x

2

+ y

2

< δ,

por lo tanto,

2x

2

y

x

2

+ y

2

2x

2

y

x

2

= 2 |y| < 2δ.

De esta manera, puedes tomar

δ(ε) =

ε

2

.

Propiedades de los límites

Si

l´ım

x →−

x

0

f(−

x ) = L

1

y

l´ım

x →−

x

0

g(−

x ) = L

2

, entonces

1. Regla de la suma:

l´ım

x →−

x

0

[f (−

x ) + g(−

x )] = L

1

+ L

2

2. Regla del múltiplo constante:

l´ım

x →−

x

0

[k f(−

x )] = kL

1

,

k ∈ R

3. Regla del producto:

l´ım

x →−

x

0

[f (−

x )g(−

x )] = L

1

L

2

4. Regla del cociente:

l´ım

x →−

x

0

f (−

x )

g(−

x )

=

L

1

L

2

,

L

2

= 0

5. Regla de la potencia:

l´ım

x →−

x

0

[f (−

x )]

m/n

= [L

1

]

m/n

,

m, n ∈ Z, n = 0, si [L

1

]

m/n

∈ R

85



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