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Capítulo 2

Funciones de varias variables

Ejemplos:

1.

l´ım

(

x,y)→(−1,3)

(2x + y) = 2(−1) + 3 = 1.

2.

l´ım

(

x,y)→(3,4)

x

2

+ y

2

=

3

2

+ 4

2

= 5.

3.

l´ım

(

x,y)→(1,0)

x

2

− 3xy

xy

2

− 2x + x

3

=

1 − 0

0 − 2 + 1

= −1.

4.

l´ım

(

x,y)→(0,0)

x

2

− xy

x −

y

=

l´ım

(

x,y)→(0,0)

(x

2

− xy)

x −

y

x + √y

x + √y

=

l´ım

(

x,y)→(0,0)

x (x − y)

x + √y

(x − y)

=

l´ım

(

x,y)→(0,0)

x

x + √y

= 0.

Prueba de las dos trayectorias para demostrar la no existencia de un límite

Si una función

f (−

x ) tiene límites diferentes a lo largo de dos trayectorias

distintas a medida que −

x tiende a −

x

0

, entonces el límite

l´ım

x →−

x

0

f (−

x ) no existe.

En el caso de funciones

f de una variable, la no existencia del límite se prueba

simplemente el límite de

f por las únicas dos trayectorias posibles, a saber, x → x

0

y

x → x

+

0

, y mostrando que ambos límites laterales son distintos:

l´ım

x→x

0

f (x) = L

1

= L

2

= l´ım

x→x

+

0

f (x)

86



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