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2.4

Límites y continuidad

La prueba de las dos trayectorias para el caso de funciones

f de dos variables

presenta una mayor dificultad que en el caso anterior, ya que en este caso existe

una infinidad de trayectorias posibles en el plano para llegar de

(x, y) a (x

0

, y

0

).

Ejemplos:

1. Demuestra que no existe el límite de

f(x, y) =

x

2

− 3y

2

x

2

+ 2y

2

en el punto

(0, 0).

i) Tomando el límite a lo largo del eje

x (y = 0):

l´ım

(

x,y)→(0,0)

f (x, y) = l´ım

x→0

f (x, 0)

= l´ım

x→0

x

2

− 0

x

2

+ 0

= l´ım

x→0

1 = 1.

ii) Tomando el límite a lo largo del eje

y (x = 0):

l´ım

(

x,y)→(0,0)

f (x, y) = l´ım

y→0

f(0, y)

= l´ım

y→0

0 − 3y

2

0 + 2y

2

= l´ım

y→0

3

2

= −

3

2

.

Como los límites son distintos, no existe

l´ım

(

x,y)→(0,0)

x

2

− 3y

2

x

2

+ 2y

2

.

87



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