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Capítulo 2

Funciones de varias variables

2. Demuestra que no existe el límite de

f (x, y) =

xy

x

2

+ y

2

en el punto

(0, 0).

i) Tomando el límite a lo largo de los ejes coordenados:

l´ım

(

x,y)→(0,0)

f (x, 0) = 0 y

l´ım

(

x,y)→(0,0)

f(0, y) = 0.

ii) Tomando el límite a lo largo de las rectas

y = mx:

l´ım

(

x,y)→(0,0)

f(x, y) = l´ım

x→0

f(x, mx)

= l´ım

x→0

x(mx)

x

2

+ (mx)

2

= l´ım

x→0

m

1 + m

2

=

m

1 + m

2

= 0.

Como hay un límite distinto para cada

m, no existe

l´ım

(

x,y)→(0,0)

xy

x

2

+ y

2

.

3. Demuestra que no existe el límite de

f (x, y) =

x

3

y

x

6

+ y

2

en el punto

(0, 0).

i) Tomando el límite a lo largo de los ejes coordenados:

l´ım

(

x,y)→(0,0)

f(x, 0) = 0 y

l´ım

(

x,y)→(0,0)

f (0, y) = 0.

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