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2.4

Límites y continuidad

ii) Tomando el límite a lo largo de las rectas

y = mx:

l´ım

(

x,y)→(0,0)

f (x, y) = l´ım

x→0

f (x, mx)

= l´ım

x→0

x

3

(mx)

x

6

+ (mx)

2

= l´ım

x→0

mx

2

x

4

+ m

2

= 0.

iii) Tomando el límite a lo largo de las parábolas

y = kx

2

:

l´ım

(

x,y)→(0,0)

f (x, y) = l´ım

x→0

f (x, kx

2

)

= l´ım

x→0

x

3

(kx

2

)

x

6

+ (kx

2

)

2

= l´ım

x→0

kx

x

2

+ k

2

= 0.

iv) Tomando el límite a lo largo de las cúbicas

y = αx

3

:

l´ım

(

x,y)→(0,0)

f (x, y) = l´ım

x→0

f (x, αx

3

)

= l´ım

x→0

x

3

(αx

3

)

x

6

+ (αx

3

)

2

= l´ım

x→0

α

1 + α

2

=

α

1 + α

2

= 0.

Como el límite es distinto para cada

α, no existe

l´ım

(

x,y)→(0,0)

x

3

y

x

6

+ y

2

.

Definición. Una función

f(−

x ) es continua en un punto 

x

0

, si

1.

f está definida en −

x

0

,

2.

l´ım

x →−

x

0

f (−

x ) existe,

3.

l´ım

x →−

x

0

f (−

x ) = f (−

x

0

).

La función es continua si lo es en cada punto de su dominio.

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