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Capítulo 2

Funciones de varias variables

Ejemplos:

1. Muestra que

f (x, y) = 2xy

2

+ 3x es continua en (2, −1).

La función es polinomial, de modo que está definida para todo punto de

R

2

, y en particular en el punto

(2, −1), con f(2, −1) = 10. Por otra parte,

l´ım

(

x,y)→(2,−1)

(2xy

2

+ 3x) = 10, de modo que el límite existe. Por último, como

l´ım

(

x,y)→(2,−1)

(2xy

2

+ 3x) = f (2, −1), por lo tanto f(x, y) = 2xy

2

+ 3x es

continua en

(2, −1).

2. Muestra que la siguiente función es continua en cada punto, excepto en el

origen:

f (x, y) =

x

3

y

x

6

+

y

2

,

(x, y) = (0, 0)

0 ,

(x, y) = (0, 0).

La función es continua en cada punto

(x, y) = (0, 0), ya que sus valores están

dados por una función racional de

x y y. Sin embargo, como ya mostramos en

un ejercicio anterior, la función no tiene límite en el origen. Por lo tanto, la

función es continua en cada punto, excepto en el origen.

90


Capítulo 3

Diferenciación

En este capítulo extendemos el concepto de diferenciación para el caso de

funciones de varias variables.

3.1 Derivadas parciales. Interpretación geométrica

Por simplicidad, aquí nos restringiremos al caso de funciones

z = f (x, y) con

dominio en R

2

, aunque los resultados pueden ser fácilmente generalizados al

caso de funciones con dominio en R

n

.

Definición. La derivada parcial con respecto a x de la función continua

f(x, y) en un punto interior (x

0

, y

0

) de su dominio está dada por

∂f

∂x

(

x

0

,y

0

)

= f

x

(x

0

, y

0

) = l´ım

h→0

f (x

0

+ h, y

0

) − f(x

0

, y

0

)

h

,

cuando este límite existe. Similarmente, la derivada parcial con respecto a y

de

f en (x

0

, y

0

) está dada por

∂f

∂y

(

x

0

,y

0

)

= f

y

(x

0

, y

0

) = l´ım

k→0

f (x

0

, y

0

+ k) − f(x

0

, y

0

)

k

.

91



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