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Capítulo 3

Diferenciación

Las derivadas parciales

f

x

y

f

y

dan la razón de cambio instantánea de la

función

f (x, y) en el punto (x

0

, y

0

), en las direcciones de los vectores base ˆı y ˆ

,

respectivamente. En otras palabras, la derivada parcial

f

x

es la pendiente de la recta

tangente a la curva

z = f (x, y

0

) en el punto P (x

0

, y

0

, f (x

0

, y

0

)) del plano y = y

0

.

Asimismo, la derivada parcial

f

y

es la pendiente de la recta tangente a la curva

z = f(x

0

, y) en el punto P (x

0

, y

0

, f (x

0

, y

0

)) del plano x = x

0

.

A partir de la definición, a continuación determinamos la derivada parcial

f

x

de

la función

f(x, y) = x

2

y

3

:

∂ x

2

y

3

∂x

= l´ım

h→0

(x + h)

2

y

3

− x

2

y

3

h

= l´ım

h→0

2xhy

3

+ h

2

y

3

h

= l´ım

h→0

2xy

3

+ hy

3

= 2xy

3

.

Nota que este resultado es equivalente a obtener directamente la derivada de

f con

respecto a

x, como si y estuviera fija:

∂ x

2

y

3

∂x

= y

3

∂ x

2

∂x

= y

3

(2x) = 2xy

3

.

Es posible demostrar que esto es válido en general, es decir, para determinar la

derivada parcial

f

x

de una función

z = f(x, y) simplemente se toma la derivada

de

f con respecto a x, manteniendo fijo el valor de y. Similarmente, para obtener

la derivada parcial

f

y

de la función, se toma la derivada de

f con respecto a y,

manteniendo fijo el valor de

x.

Ejemplos:

1. Sea

f (x, y) = x

3

y +

2y

2

x

. Determina las derivadas parciales

f

x

y

f

y

.

Las derivadas parciales

f

x

y

f

y

están dadas por

f

x

=

∂x

x

3

y +

2y

2

x

= y

∂x

x

3

+ 2y

2

∂x

1

x

= 3x

2

y −

2y

2

x

2

,

f

y

=

∂y

x

3

y +

2y

2

x

= x

3

∂y

(y) +

1

x

∂y

2y

2

= x

3

+

4y

x

.

92



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