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3.1

Derivadas parciales. Interpretación geométrica

2. Sea

z = x sen(xy). Determina las derivadas parciales z

x

y

z

y

.

Las derivadas parciales

z

x

y

z

y

están dadas por

z

x

=

∂ [x sen(xy)]

∂x

= x

∂ sen(xy)

∂x

+

∂x

∂x

sen(xy)

= x (cos(xy) · y) + 1 · sen(xy) = xy cos(xy) + sen(xy),

z

y

=

∂ [x sen(xy)]

∂y

= x

∂ sen(xy)

∂y

+

∂x

∂y

sen(xy)

= x (cos(xy) · x) + 0 · sen(xy) = x

2

cos(xy).

3. Encuentra la pendiente de la recta tangente a la superficie

z = 9 − x

2

− y

2

en el

punto

P (2, 1, 4) del plano x = 2.

La pendiente de la recta tangente a la superficie en

P (2, 1, 4) es

∂z

∂y

(2

,1)

= −2y|

(2

,1)

= −2.

4. Sea

u(x

1

, x

2

) = ln(x

α

1

1

x

α

2

2

) la función de utilidad para una canasta de dos

bienes, con

x

1

,

x

2

,

α

1

, α

2

> 0. Encuentra las utilidades marginales u

x

1

y

u

x

2

.

Las utilidades marginales están dadas por

u

x

1

=

∂ ln(x

α

1

1

x

α

2

2

)

∂x

1

=

∂ (α

1

ln x

1

+ α

2

ln x

2

)

∂x

1

=

α

1

x

1

,

u

x

2

=

∂ ln(x

α

1

1

x

α

2

2

)

∂x

2

=

∂ (α

1

ln x

1

+ α

2

ln x

2

)

∂x

2

=

α

2

x

2

.

5. Sea

P (L, K) = L

1

/2

K

1

/2

una función de producción Cobb-Douglas. Encuentra

los productos marginales

P

L

y

P

K

.

En este caso, se tiene simplemente

P

L

=

∂ L

1

/2

K

1

/2

∂L

=

1

2

L

−1/2

K

1

/2

=

1

2

K

L

1

/2

,

P

K

=

∂ L

1

/2

K

1

/2

∂K

=

1

2

L

1

/2

K

−1/2

=

1

2

L

K

1

/2

.

6. Para la función de utilidad

u(c, σ) =

c

1−σ

− 1

1 − σ

determina

u

c

y

u

σ

.

93



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