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Capítulo 3

Diferenciación

u

c

=

∂c

c

1−σ

− 1

1 − σ

= c

−σ

,

u

σ

=

∂σ

c

1−σ

− 1

1 − σ

=

− (1 − σ) c

1−σ

ln c + (c

1−σ

− 1)

(1 − σ)

2

7. Para la función de producción

P (L, K, α

1

, α

2

, ρ) = (α

1

L

ρ

+ α

2

K

ρ

)

1

determina: a)

∂P/∂K, b) ∂P/∂α

1

y c)

∂P/∂ρ.

a)La parcial

∂P/∂K está dada directamente por

∂P

∂K

=

∂(α

1

L

ρ

+ α

2

K

ρ

)

1

∂K

=

1

ρ

1

L

ρ

+ α

2

K

ρ

)

(1

/ρ)−1

∂(α

1

L

ρ

+ α

2

K

ρ

)

∂K

=

1

ρ

1

L

ρ

+ α

2

K

ρ

)

(1

/ρ)−1

α

2

ρK

ρ−1

= α

2

K

ρ−1

1

L

ρ

+ α

2

K

ρ

)

1−

ρ

ρ

b)Similarmente, la parcial

∂P/∂α

1

es

∂P

∂α

1

=

∂(α

1

L

ρ

+ α

2

K

ρ

)

1

∂α

1

=

1

ρ

1

L

ρ

+ α

2

K

ρ

)

(1

/ρ)−1

∂(α

1

L

ρ

+ α

2

K

ρ

)

∂α

1

=

1

ρ

1

L

ρ

+ α

2

K

ρ

)

(1

/ρ)−1

(L

ρ

)

=

L

ρ

ρ

1

L

ρ

+ α

2

K

ρ

)

1−

ρ

ρ

c)Para determinar

∂P/∂ρ es necesario utilizar derivación logarítmica, ya que la

variable

ρ aparece tanto en la base como en la potencia. Para ello, partimos de

ln P (L, K) = ln(α

1

L

ρ

+ α

2

K

ρ

)

1

=

1

ρ

ln(α

1

L

ρ

+ α

2

K

ρ

),

de modo que

1

P

∂P

∂ρ

=

1

ρ

∂(α

1

L

ρ

+ α

2

K

ρ

)/∂ρ

1

L

ρ

+ α

2

K

ρ

)

1

ρ

2

ln(α

1

L

ρ

+ α

2

K

ρ

)

=

1

ρ

α

1

L

ρ

ln L + α

2

K

ρ

ln K

1

L

ρ

+ α

2

K

ρ

)

1

ρ

2

ln(α

1

L

ρ

+ α

2

K

ρ

),

94



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