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Capítulo 3

Diferenciación

2. Encuentra todas las derivadas parciales de segundo orden de

h(r, θ) = r

3

e

−θ/2

.

Como

h

r

(r, θ) = 3r

2

e

−θ/2

h

θ

(r, θ) = −

1

2

r

3

e

−θ/2

,

por lo tanto,

h

rr

(r, θ) =

∂r

(h

r

) = 6re

−θ/2

h

(r, θ) =

∂θ

(h

r

) = −

3

2

r

2

e

−θ/2

h

θr

(r, θ) =

∂r

(h

θ

) = −

3

2

r

2

e

−θ/2

h

θθ

(r, θ) =

∂θ

(h

θ

) =

1

4

r

3

e

−θ/2

.

3. Encuentra todas las derivadas parciales de segundo orden de

f (x, y) = y ln

x

y

.

Conviene reescribir

f como

f (x, y) = y (ln x − ln y)

Como

f

x

(x, y) = y

1

x

=

y

x

f

y

(x, y) = (ln x − ln y) + y −

1

y

= ln x − ln y − 1,

por lo tanto,

f

xx

(x, y) =

∂x

(f

x

) = −

y

x

2

f

xy

(x, y) =

∂y

(f

x

) =

1

x

f

yx

(x, y) =

∂x

(f

y

) =

1

x

f

yy

(x, y) =

∂y

(f

y

) = −

1

y

.

Observamos que en los ejemplos 2 y 3 las derivadas mixtas son iguales

(

h

= h

θr

y

f

xy

= f

yx

). ¿Es éste un resultado general? El siguiente teorema

establece bajo qué condiciones se cumple esto.

96



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