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3.1

Derivadas parciales. Interpretación geométrica

Teorema sobre derivadas parciales mixtas.

1

Si

f(x, y) es una función de

clase

C

2

(dos veces diferenciable con continuidad) en una región abierta que

contiene al punto

(x

0

, y

0

), entonces las derivadas parciales mixtas son iguales, esto

es,

f

xy

(x

0

, y

0

) = f

yx

(x

0

, y

0

).

Demostración:

Sean

x = x

0

+ ∆x y y = y

0

+ ∆y y considera la expresión

S(∆x, ∆y) = f (x, y) − f (x, y

0

) − f (x

0

, y) + f (x

0

, y

0

) .

Manteniendo

y

0

y

y fijos, definimos la función

g(x) = f (x, y) − f (x, y

0

) ,

de donde

S(∆x, ∆y) = g (x) − g (x

0

) .

Por el teorema del valor medio para funciones de una variable,

g (x) − g (x

0

) = g

(c) ∆x,

para algún

c entre x

0

y

x. Como g

(x) = f

x

(x, y) − f

x

(x, y

0

) , por lo tanto

S(∆x, ∆y) = [f

x

(c, y) − f

x

(c, y

0

)] ∆x.

Ahora definimos la función

h(y) = f

x

(c, y) − f

x

(c, y

0

) ,

con

h(y

0

) = 0. Aplicando otra vez el teorema del valor medio, h (y) − h (y

0

) = h

(d) ∆y,

para algún

d entre y

0

y

y. Así,

S(∆x, ∆y) = [h

(d)∆y] ∆x.

De la definición de

h(y) se sigue que h

(y) = f

xy

(c, y) , de donde

S(∆x, ∆y) = f

xy

(c, d) ∆y∆x.

Como

f

xy

es continua, se sigue que

f

xy

(x

0

, y

0

) =

l´ım

(∆

x,∆y)−→(0,0)

S(∆x, ∆y)

∆x∆y

.

Como

S es simétrica en ∆x y ∆y, de forma similar se demuestra que f

yx

(x

0

, y

0

)

está dada por la misma fórmula límite, lo que prueba el resultado.

1

Este teorema se atribuye a diversos autores, tales como Euler, Young, Clairaut, Schwarz.

97



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