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Capítulo 3

Diferenciación

Ejemplo:

Determina

f

yyyxx

para la función

f (x, y) = xe

y

2

.

Para determinar

f

yyyxx

hay que encontrar

f

y

, luego

f

yy

, etc... Sin embargo,

para esta función resulta menos laborioso utilizar la igualdad

f

yyyxx

= f

xxyyy

.

Como

f

x

= e

y

2

, por lo tanto

f

xx

= 0, de modo que f

xxyyy

= 0. Concluimos que

f

yyyxx

= 0.

La mayoría de las funciones de interés en economía satisfacen las hipótesis

del teorema de la igualdad de las derivadas parciales mixtas. En un problema

matemático general, esto no necesariamente sucede. Un ejemplo de ello es la

función

f (x, y) =

xy(x

2

−y

2

)

x

2

+

y

2

,

(x, y) = (0, 0)

0 ,

(x, y) = (0, 0).

Es fácil demostrar que las segundas derivadas mixtas

f

xy

y

f

yx

son iguales en

todos los puntos del dominio, excepto en el origen. En este último punto, se tiene

f

xy

(0, 0) = −1, mientras que f

yx

(0, 0) = 1.

3.2 Diferenciabilidad. Linealización y diferenciales

Para comprender el concepto de diferenciabilidad para funciones de varias

variables, recordemos primero el caso de funciones de una variable.

Sea

f : D ⊂ R → R, con y = f(x). Sea x

0

∈ D y considera el cambio

∆y = f (x

0

+ ∆x) − f(x

0

)

de

f , al incrementarse x

0

en un valor

∆x = x − x

0

. Se dice que

f es diferenciable

en

x

0

si

∆y está dado por

∆y = f

(x

0

) ∆x + ε ∆x,

donde

ε → 0 a medida que ∆x → 0. Geométricamente, esto significa que podemos

aproximar el cambio

∆y en la altura de la curva y = f (x) por el cambio f

(x

0

) ∆x

obtenido a partir de la pendiente

f

(x

0

) de la curva en x

0

, con un error

ε ∆x que

decrece a medida que

x se acerca a x

0

.

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