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3.2

Diferenciabilidad. Linealización y diferenciales

En ese caso, podemos aproximar

∆y ∼

= f

(x

0

) ∆x,

de modo que

f (x

0

+ ∆x) ∼

= f (x

0

) + f

(x

0

) ∆x.

El término del lado derecho de esta expresión se conoce como la linealización

L(x) de f en x

0

,

L(x) = f (x

0

) + f

(x

0

) ∆x.

La ecuación

y = L(x) = f(x

0

) + f

(x

0

) ∆x

es una ecuación lineal de la forma

y = y

0

+ m(x − x

0

), con y

0

= f (x

0

) y

m = f

(x

0

), y representa la ecuación de la recta tangente a la curva y = f (x) en

el punto

(x

0

, f (x

0

)) de esa curva.

Concluimos que una función

f (x) es diferenciable en un punto si existe una recta

tangente a la curva

y = f (x) en ese punto.

Ejemplo:

Analiza la diferenciabilidad de la función

f (x) = ln(1 + x) en el punto x = 0.

La linealización

L(x) de la función f (x) = ln(1 + x) en x = 0 está dada por

L(x) = f (0) + f

(0)(x − 0) = ln(1 + 0) +

1

1 + 0

(x − 0) = x,

99



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