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Capítulo 3

Diferenciación

de donde

ln(1 + x) ≃ x, cuando x ≃ 0.

Así,

f es diferenciable en x = 0, ya que posee una recta tangente en el punto

(0, 0) dada por y = x.

Por último, para valores muy pequeños de

∆x los incrementos se convierten en

diferenciales,

∆x ≈ dx, ∆y ≈ dy, de modo que el resultado ∆y ∼

= f

(x

0

) ∆x

conduce a la expresión familiar para la diferencial de

y, dada por

dy = f

(x

0

) dx.

A continuación generalizamos los resultados anteriores al caso de funciones de

dos variables.

Definición. Sea

f : D ⊂ R

2

→ R, con z = f(x, y). Sea (x

0

, y

0

) un punto

interior de

D y considere el cambio

∆z = f (x

0

+ ∆x, y

0

+ ∆y) − f(x

0

, y

0

)

de

f , al incrementarse x

0

en un valor

∆x = x − x

0

y

y

0

en un valor

∆y = y − y

0

.

Se dice que

f es diferenciable en (x

0

, y

0

) si f

x

(x

0

, y

0

) y f

y

(x

0

, y

0

) existen y si el

cambio

∆z satisface una ecuación de la forma

∆z = f

x

(x

0

, y

0

)∆x + f

y

(x

0

, y

0

)∆y + ε

1

∆x + ε

2

∆y,

en donde

ε

1

, ε

2

→ 0 cuando ∆x, ∆y → 0.

Esto significa que podemos aproximar el cambio

∆z en la altura de la superficie

z = f (x, y) por la suma de los cambios f

x

(x

0

, y

0

)∆x + f

y

(x

0

, y

0

)∆y obtenidos a

partir de las derivadas parciales en

(x

0

, y

0

), con un error ε

1

∆x + ε

2

∆y que decrece

a medida que

(x, y) se acerca a (x

0

, y

0

).

100



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