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3.2

Diferenciabilidad. Linealización y diferenciales

En ese caso, podemos aproximar

∆z ∼

= f

x

(x

0

, y

0

)∆x + f

y

(x

0

, y

0

)∆y,

de modo que

f (x

0

+ ∆x, y

0

+ ∆y) ∼

= f (x

0

, y

0

) + f

x

(x

0

, y

0

)∆x + f

y

(x

0

, y

0

)∆y.

El término de la derecha se conoce como la linealización

L(x, y) de f en (x

0

, y

0

).

Definición. La linealización

L(x, y) de una función diferenciable f (x, y) en un

punto

(x

0

, y

0

) de su dominio es la función

L(x, y) = f (x

0

, y

0

) + f

x

(x

0

, y

0

)(x − x

0

) + f

y

(x

0

, y

0

)(y − y

0

).

La ecuación

z = L(x, y) = f (x

0

, y

0

) + f

x

(x

0

, y

0

)(x − x

0

) + f

y

(x

0

, y

0

)(y − y

0

)

es una ecuación lineal de la forma

z = z

0

+ a(x − x

0

) + b(y − y

0

), con

z

0

= f(x

0

, y

0

), a = f

x

(x

0

, y

0

) y b = f

y

(x

0

, y

0

), de modo que representa un

plano. Nota que la intersección de este plano con el plano

y = y

0

es la recta

z = f(x

0

, y

0

) + f

x

(x

0

, y

0

)(x − x

0

), que es tangente a la superficie z = f (x, y) en

el punto

(x

0

, y

0

, f (x

0

, y

0

)). Asimismo, la intersección de este plano con el plano

x = x

0

es la recta

z = f (x

0

, y

0

) + f

y

(x

0

, y

0

)(y − y

0

), que también es tangente a la

superficie

z = f (x, y) en el punto (x

0

, y

0

, f(x

0

, y

0

)). De esta manera, la ecuación

z = f (x

0

, y

0

) + f

x

(x

0

, y

0

)(x − x

0

) + f

y

(x

0

, y

0

)(y − y

0

)

es la ecuación del plano tangente a la superficie

z = f (x, y) en el punto

(x

0

, y

0

, f (x

0

, y

0

)) de esa superficie.

Concluimos que una función

f (x, y) es diferenciable en un punto si existe un plano

tangente a la superficie

z = f (x, y) en ese punto.

Ejemplo:

Analiza la diferenciabilidad de la función

f (x, y) = x

2

− xy +

1

2

y

2

+ 3 en el

punto

(x

0

, y

0

) = (3, 2).

101



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