Página principal



Notasc2 1-15. dvi

Descargar 16.97 Kb.
Ver original pdf

Notasc2 1-15. dvi





Descargar 16.97 Kb.
Ver original pdf
Página89/227
Fecha de conversión16.05.2019
Tamaño16.97 Kb.
1   ...   85   86   87   88   89   90   91   92   ...   227

Capítulo 3

Diferenciación

Encontremos la linealización

L(x, y) de la función f en (x, y) = (3, 2). Como

f (x, y) = x

2

− xy +

1

2

y

2

+ 3,

f

x

(x, y) = 2x − y,

f

y

(x, y) = −x + y,

por lo tanto

f (3, 2) = 8, f

x

(3, 2) = 4, f

y

(3, 2) = −1, de modo que,

z = L(x, y) = f(3, 2) + f

x

(3, 2)(x − 3) + f

y

(3, 2)(y − 2)

= 8 + 4(x − 3) − 1(y − 2) = 4x − y − 2.

Así,

f es diferenciable en (3, 2), ya que posee un plano tangente en el punto

(3, 2, 8), dado por su linealización, z = 4x − y − 2.

Por último, para valores muy pequeños de

∆x y ∆y los incrementos se

convierten en diferenciales,

∆x ≈ dx, ∆y ≈ dy, ∆z ≈ dz, de modo que

el resultado

∆z ∼

= f

x

(x

0

, y

0

)∆x + f

y

(x

0

, y

0

)∆y conduce a la expresión

dz = f

x

(x

0

, y

0

)dx + f

y

(x

0

, y

0

)dy,conocida como la diferencial total.

Definición. La diferencial total

dz de una función diferenciable z = f (x, y) en

un punto interior

(x

0

, y

0

) de su dominio está dada por

dz = f

x

(x

0

, y

0

)dx + f

y

(x

0

, y

0

)dy.

La diferencial total puede utilizarse para aproximar el cambio en el valor de

f

cuando el punto

(x

0

, y

0

) cambia a un valor cercano (x

0

+ ∆x, y

0

+ ∆y), mediante

∆z ≈ f

x

(x

0

, y

0

)∆x + f

y

(x

0

, y

0

)∆y.

Ejemplos:

1. Sea

z = f(x, y), con f (x, y) = x

2

e

3

y

. Encuentra la diferencial total

dz en el

punto

(1, 0). Utiliza ésta para estimar el cambio en z cuando x disminuye, de

x = 1 a x = 0.99, y y se incrementa, de y = 0 a y = 0.02.

Como

f

x

(x, y) = 2xe

3

y

y

f

y

(x, y) = 3x

2

e

3

y

,

por lo tanto,

f

x

(1, 0) = 2 y f

y

(1, 0) = 3. De este modo, la diferencial total de f

está dada por

dz = 2dx + 3dy.

En el punto inicial la función tiene un valor

z = f(1, 0) = 1. Al disminuir x en

∆x = 0.99 − 1 = −0.01 y al incrementarse y en ∆y = 0.02 − 0 = 0.02, la

función cambia aproximadamente en

∆z ≈ 2 ∆x + 3 ∆y = 2(−0.01) + 3(0.02) = 0.04.

102



1   ...   85   86   87   88   89   90   91   92   ...   227

Similar:

Notasc2 1-15. dvi iconFormulario dvi

Notasc2 1-15. dvi iconEcuAlg dvi

Notasc2 1-15. dvi icon16calculoiii dvi

Notasc2 1-15. dvi iconCombustion dvi

Notasc2 1-15. dvi iconFormulario(14 15)(apaisado) dvi

Notasc2 1-15. dvi iconXss-recsi dvi

Notasc2 1-15. dvi iconTrigo com dvi
Trigonometría


Descargar 16.97 Kb.
Ver original pdf