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3.3

Regla de la cadena

En otras palabras,

z cambia de 1 a 1.04, aproximadamente. Nota que el cambio

exacto de

z es

∆z

exacto

= (0.99)

2

e

3(0

.

02)

− (1)

2

e

3(0)

= 0.0407.

2. Sea

Q = P (L, K) la producción, con P (L, K) = 4L

1

/4

K

3

/4

. Aproxima el

efecto que tendría sobre la producción que el trabajo disminuya, de

L

0

= 625 a

L = 623, y el capital se incremente, de K

0

= 10 000 a K = 10 010.

La diferencial total

dQ en los niveles iniciales (L

0

,

K

0

) = (625, 10 000) es

dQ = P

L

(625, 10 000) dL + P

K

(625, 10 000) dK.

Los productos marginales están dados por

P

L

(L, K) =

K

L

3

/4

y

P

K

(L, K) = 3

L

K

1

/4

,

de modo que

P

L

(625, 10 000) = 8 y P

K

(625, 10 000) = 1.5. Así, la diferencial

total de

Q en (625, 10 000) es

dQ = 8 dL − 1.5 dK.

Esta expresión permite aproximar el cambio en

Q ante un pequeño cambio en

los insumos

(L, K) alrededor de (625, 10 000), mediante

∆Q ≈ 8 ∆L − −1.5 ∆K.

Tomando en cuenta que

∆L = −2 y ∆K = 10, por lo tanto

∆Q ≈ 8(−2) + 1.5(10) = −1.

Así,

Q decrece aproximadamente en 1. Nota que el cambio exacto es

∆Q

exacto

= P (623, 10 010) − P (625, 10 000)

= 19 998.967 − 20 000 = −1.033.

3.3 Regla de la cadena

En esta sección mostramos cómo se generaliza la regla de la cadena para la

derivada de la composición de funciones de varias variables. Para tal fin, nos

ayudamos con los llamados diagramas de árbol, que son esquemas en los que

se especifica la dependencia que guardan entre sí las variables involucradas. A

continuación, ilustramos la regla de la cadena a través de varios ejemplos. En cada

caso, la figura de la izquierda representa el diagrama de árbol correspondiente y la

figura de la derecha muestra la dependencia final de

z, sin tomar en cuenta a las

variables intermedias.

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