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Capítulo 3

Diferenciación

F) Sea

z = f (x, t), con x = g(t, s).

∂z

∂t

=

∂f

∂x

∂g

∂t

+

∂f

∂t

∂z

∂s

=

∂f

∂x

∂g

∂s

o bien

∂z

∂t

∂z

∂s

=

∂f

∂x

∂f

∂t

∂g

∂t

∂g

∂s

1

0

Con este procedimiento podemos obtener la regla de la cadena para cualquier

otro caso. Sólo debes tener cuidado en el uso correcto de derivadas ordinarias

(

d/dt) o de derivadas parciales (∂/∂t) en cada etapa del proceso de derivación.

Ejemplos:

1. Sea

z = f (x, y) = xy, donde x = g(t) = cos t y y = h(t) = sent. Encuentra

dz/dt.

Primero notamos que

∂f/∂x = y y ∂f /∂y = x, de modo que

dz

dt

=

∂f

∂x

dg

dt

+

∂f

∂y

dh

dt

= y

dg

dt

+ x

dh

dt

.

Por otra parte, como

dg/dt = −sent y dh/dt = cos t, por lo tanto,

dz

dt

= (sent)(−sent) + (cos t)(cos t) = −sen

2

t + cos

2

t.

Nota que hubieras obtenido el mismo resultado al sustituir

x = cos t y y = sent

en

z = xy y luego derivar el producto respecto a t.

2. Sea

Q = P (L, K) una función de producción, donde el trabajo L(t) y el capital

K(t) son funciones del tiempo t. Encuentra una expresión que establezca cómo

cambia la producción en el tiempo,

dQ/dt.

Este caso es similar al anterior. Sin embargo, aquí desconocemos la dependencia

explícita de las variables, de modo que sólo se tiene el resultado general

dQ

dt

=

∂P

∂L

dL

dt

+

∂P

∂K

dK

dt

= P

L

dL

dt

+ P

K

dK

dt

.

106



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