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3.4

Diferenciación implícita

3. Sea

Q = P (L, K, t) una función de producción que depende del tiempo, no

sólo indirectamente, a través del trabajo y el capital,

L(t) y K(t), sino también

directamente (un ejemplo de esto sería

Q = A(t)L

1

/2

K

1

/2

). Encuentra una

expresión para

dQ/dt.

Aquí sólo hay que agregar el término

∂P/∂t al resultado anterior, quedando

dQ

dt

=

∂P

∂L

dL

dt

+

∂P

∂K

dK

dt

+

∂P

∂t

= P

L

dL

dt

+ P

K

dK

dt

+

∂P

∂t

.

4. Determina

∂x

c

/∂p

x

, si

x

c

(p

x

, p

y

, u) = x

M

(p

x

, p

y

, I), con I = E(p

x

, p

y

, u).

En este caso, se tiene

∂x

c

∂p

x

=

∂x

M

∂p

x

+

∂x

M

∂I

∂E

∂p

x

,

que es conocida como la ecuación de Slutsky.

3.4 Diferenciación implícita

Seguramente recuerdas cómo obtener la derivada

dy/dx cuando y y x están

relacionadas a través de una función implícita

F (x, y) = 0. Por ejemplo,

determinemos

dy/dx en la ecuación

xe

xy

+ y − 1 = 0,

que define implícitamente a

y como función de x. Para ello, derivas ambos lados

respecto a

x, obteniendo

x · e

xy

x ·

dy

dx

+ y · 1 + e

xy

· 1 +

dy

dx

= 0

dy

dx

· x

2

e

xy

+ 1 = −xye

xy

− e

xy

dy

dx

= −

xye

xy

+ e

xy

x

2

e

xy

+ 1

.

107



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