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Capítulo 3

Diferenciación

En el caso de una ecuación implícita de la forma

F (x, y, z) = 0, para obtener

las derivadas parciales

∂z/∂x y ∂z/∂y puedes seguir un procedimiento similar al

anterior Por ejemplo, consideremos la ecuación

yz − ln z = x + y,

que define a

z como una función implícita, diferenciable, de x y y. Para encontrar

∂z/∂x derivamos la ecuación respecto a x, tomando a y fija, con lo cual se obtiene

y ·

∂z

∂x

1

z

·

∂z

∂x

= 1

∂z

∂x

y −

1

z

= 1

∂z

∂x

=

z

yz − 1

.

La derivada

∂z/∂y se obtendría de manera análoga, obteniendo

∂z

∂y

=

z(1 − z)

yz − 1

.

A continuación presentamos una técnica alternativa para obtener estas derivadas

parciales, de una manera más simple, utilizando la regla de la cadena.

Caso 1. Queremos encontrar la derivada

dy/dx, suponiendo que la ecuación

F (x, y) = 0 define a y como una función implícita, diferenciable, de x. Para ello,

vamos a suponer que

F (x, y) = 0 es la curva de nivel z = 0 de una función

z = F (x, y) en R

3

. Así,

z = F (x, y) = 0

dz

dx

=

∂F

∂x

+

∂F

∂y

dy

dx

= 0

F

x

+ F

y

dy

dx

= 0

dy

dx

= −

F

x

F

y

.

Teorema. Si

F (x, y) es diferenciable, y la ecuación F (x, y) = 0 define a y

como una función implícita, diferenciable, de

x, entonces

dy

dx

= −

F

x

F

y

,

en todos los puntos de la curva

F (x, y) = 0 en donde F

y

= 0.

108



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