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3.4

Diferenciación implícita

Ejemplos:

1. Determina bajo qué condiciones la relación

x

2

+ y

2

= 1 define a y como una

función diferenciable de

x, y en ese caso encuentra dy/dx.

Sea

F (x, y) = x

2

+ y

2

− 1. La relación F (x, y) = x

2

+ y

2

− 1 = 0 define a y

como función implícita, diferenciable, de

x cuando F

y

= 2y = 0, es decir, en

todos los puntos de la circunferencia en donde

y = 0. En ese caso,

dy

dx

= −

F

x

F

y

= −

2x

2y

= −

x

y

.

Así, por ejemplo, la derivada

dy

dx

en el punto

P 1/

2,1/

2 es

dy

dx

P

= −

1/

2

1/

2

= −1.

Notamos que en los puntos con

y = 0 la derivada se indetermina, de modo que

ahí

y no es función diferenciable de x.

2. Determina bajo qué condiciones la relación

xe

xy

+ y − 1 = 0 define a y como

una función diferenciable de

x, y en ese caso encuentra dy/dx.

Definimos

F (x, y) = xe

xy

+ y − 1, de modo que F

x

= xye

xy

+ e

xy

y

F

y

= x

2

e

xy

+ 1. La relación F (x, y) = xe

xy

+ y − 1 = 0 define a y como

una función diferenciable de

x en aquellos puntos sobre la curva tales que

F

y

= x

2

e

xy

+ 1 = 0 (que en este caso siempre se cumple). En ese caso,

dy

dx

= −

F

x

F

y

= −

xye

xy

+ e

xy

x

2

e

xy

+ 1

.

3. Demuestra que, a lo largo de una isocuanta

P (L, K) = Q

0

(Q

0

=const) de una

función de producción

Q = P (L, K) se cumple la relación −

dK

dL

=

P

L

P

K

(tasa

marginal de sustitución técnica).

109



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