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Capítulo 3

Diferenciación

Sea

F (L, K) = P (L, K) − Q

0

. La relación F (L, K) = P (L, K) − Q

0

= 0

define a

K como una función diferenciable de L, si F

K

= P

K

= 0. En ese caso,

dK

dL

= −

F

L

F

K

= −

P

L

P

K

.

Caso 2. Queremos encontrar las derivadas parciales

∂z/∂x y ∂z/∂y, si la

ecuación

F (x, y, z) = 0 define a z como una función implícita, diferenciable, de x

y

y. Para ello, vamos a suponer que F (x, y, z) = 0 es la superficie de nivel w = 0

de una función

w = F (x, y, z) en R

4

. Así,

w = F (x, y, z) = 0

∂w

∂x

=

∂F

∂x

+

∂F

∂z

∂z

∂x

= F

x

+ F

z

∂z

∂x

= 0

∂w

∂y

=

∂F

∂y

+

∂F

∂z

∂z

∂y

= F

y

+ F

z

∂z

∂y

= 0

∂z

∂x

= −

F

x

F

z

,

∂z

∂y

= −

F

y

F

z

.

Teorema. Si

F (x, y, z) es diferenciable, y la ecuación F (x, y, z) = 0 define a z

como una función implícita, diferenciable, de

x y y, entonces

∂z

∂x

= −

F

x

F

z

,

∂z

∂y

= −

F

y

F

z

,

en todos los puntos de la superficie

F (x, y, z) = 0 en donde F

z

= 0.

Este teorema permite determinar fácilmente las derivadas parciales

∂z/∂x y

∂z/∂y en una relación implícita de la forma F (x, y, z) = 0, siempre y cuando F

sea diferenciable y su derivada parcial

F

z

no se anule en el punto

(x, y, z). Este

110



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