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3.4

Diferenciación implícita

resultado es muy útil, ya que podemos encontrar las derivadas

∂z/∂x y ∂z/∂y sin

necesidad de conocer la función

z(x, y).

Ejemplos:

1. Determina bajo qué condiciones la relación

yz − ln z = x + y define a z como

una función diferenciable de

x y y. En ese caso, encuentra ∂z/∂x y ∂z/∂y.

Definimos

F (x, y, z) = yz − ln z − x − y. Así, F (x, y, z) = yz − ln z = x + y

define a

z como una función diferenciable de x y y en todos los puntos (x, y, z)

tales que

F

z

= y − 1/z = 0, es decir, en todos los puntos de la superficie en

donde

yz − 1 = 0. En ese caso,

∂z

∂x

= −

F

x

F

z

= −

−1

y − 1/z

=

z

yz − 1

,

∂z

∂y

= −

F

y

F

z

= −

z − 1

y − 1/z

=

z(1 − z)

yz − 1

.

2. Determina si

3xe

yz

− ye

xz

− 1 = 0 define a z como una función diferenciable

de

x y y, en el punto P (1, 2, 0). De ser así, calcula ∂z/∂x y ∂z/∂y en P .

Definimos

F (x, y, z) = 3xe

yz

− ye

xz

− 1. Como F

z

(x, y, z) = 3xye

yz

− xye

xz

,

por lo tanto

F

z

(1, 2, 0) = 4 = 0, de modo que la relación 3xe

yz

− ye

xz

− 1 = 0

sí define a

z como una función diferenciable de x y y cerca del punto P (1, 2, 0).

Finalmente, como

∂z

∂x

= −

F

x

F

z

= −

3e

yz

− yze

xz

xy (3e

yz

− e

xz

)

,

∂z

∂y

= −

F

y

F

z

= −

3xze

yz

− e

xz

xy (3e

yz

− e

xz

)

,

por lo tanto

∂z

∂x

P

= −

3

4

y

∂z

∂y

P

=

1

4

.

3. Sean

D(p, w) y S(p, t) las funciones de demanda (D) y de oferta (S) de un

bien, en términos del precio

p de éste en el mercado, el salario w y el impuesto

t sobre el producto, y en donde sus derivadas parciales satisfacen D

p

< 0,

D

w

> 0, S

p

> 0 y S

t

< 0. Si en el equilibrio se cumple D(p, w) = S(p, t),

determina bajo qué condiciones la relación de equilibrio define a

p como una

función diferenciable de las variables

w y t, y en ese caso encuentra expresiones

para

∂p/∂w y ∂p/∂t.

111



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