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Péndulo, ecuaciones del movimiento (según Newton)

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Péndulo, ecuaciones del movimiento (según Newton)

El péndulo es uno de los sistemas oscilantes más sencillos. Consiste en una masa m sujeta a una varilla que se entiende como indeformable y carente de masa y sujeta en la cima a un punto de apoyo. Es uno de los ejemplos clásicos de oscilador armónico simple.

Las propiedades fundamentales de las oscilaciones del péndulo ya fueron descubiertas empíricamente por Galileo Galilei. En 1581, mientras estudiaba medicina en la Universidad de Pisa, Galileo con frecuencia atendía las liturgias en la Catedral de Pisa. En cierta ocasión observó cómo las corrientes de aire de la catedral hacían oscilar los enormes candelabros colgados que había en la catedral. La amplitud de las oscilaciones era distinta y sin embargo a Galileo le pareció que el período era el mismo. Inmediatamente se puso a medirlo utilizando su ritmo cardíaco como reloj y al ver que estaba en lo cierto, decidió realizar un experimento riguroso al volver a su casa, llegando a las siguientes conclusiones:

  • Los péndulos casi alcanzan la altura inicial desde la que fueron dejados caer

  • Todos los péndulos eventualmente se detienen

  • El período del péndulo es independiente de la masa que oscila

  • El período del péndulo es independiente de la amplitud

  • El cuadrado del período es proporcional a la longitud del péndulo.

Supongamos que en un momento determinado el péndulo está desviado respecto al eje de reposo (el eje vertical) un ángulo α. Veamos el razonamiento que se aplica para determinar las fuerzas que actúan en el sistema.

En primer lugar está claro que sobre la masa actúa la fuerza de la gravedad, dirigía hacia abajo:

La fuerza de la gravedad, además, es igual según la segunda ley de Newton a G = mg .

Sin embargo, como esta unida la bola a una varilla no se desplaza hacia bajo y la fuerza gravedad se descompone en dos componentes perpendiculares una de la otra. Al descomponemos la fuerza de la gravedad como suma de los siguientes dos vectores:

Utilizando esta descomposición, tenemos una fuerza que es perpendicular a la varilla y una fuerza que es paralela a la varilla e intenta alejar a la bola justo en dirección opuesta a la varilla. Puesto que la masa está unida a la varilla, esta fuerza se transmite íntegramente sobre la varilla, es decir, que la masa por acción de la gravedad "tira" del extremo de la varilla intentando escaparse. Sin embargo como la varilla es indeformable, es decir, no se puede estirar ni acortar, por lo que ejerce una fuerza en sentido contrario a la masa que equilibra esta parte de la fuerza de la gravedad. A esta fuerza habitualmente se la denota con T y se la denomina "tensión" (no la tensión de la electricidad, sino la del verbo tensar). Con esta fuerza, nuestro sistema queda como sigue:

Como única fuerza descompensada queda por lo tanto , que es la que hace que el péndulo intente volver hacia el eje vertical.  Puesto que la varilla fuerza a la masa a moverse a lo largo de una circunferencia con un radio igual a la longitud de la varila, es realmente una fuerza que actúa tangencialmente:

Por desgracia a partir de este punto es necesario recurrir a derivadas para deducir las ecuaciones del movimiento.

Nota. En el punto en el que la varilla es paralela al eje vertical la fuerza perpendicular es cero pero el movimiento continuo debido a la fuerza centrifuga pero no incluiremos esto en el modelo.

Si calculamos la magnitud de esta aceleración podremos ver que se cumple:

Donde es la segunda derivada del ángulo respecto al tiempo, o lo que es lo mismo, la aceleración angular.

Esto es una Ecuación Diferencial cuya solución analítica es muy superior al nivel de este artículo (sin embargo, si te interesa puedes mirar en el artículo de nivel avanzado sobre el mismo tema), por lo que es necesario recurrir a lo que se conoce como aproximación de pequeños ángulos. Bajo esta aproximación, podemos decir que: 

con lo cual nuestra ecuación se queda en

 

Básicamente buscamos una función α(t) que cumpla esa relación. Una función de este tipo es la siguiente:

Se puede comprobar que efectivamente :

que es precisamente la ecuación que teníamos.

Para ver lo que significa la magnitud , recordemos que el período de la función seno es 2π. Entonces si llamamos a T al instante en que se cumple ese período tenemos:

o lo que es lo mismo,

Se puede así llegar a las mismas conclusiones que Galileo, concretamente

  • El período del péndulo es independiente de la masa que oscila (ya que sólo depende de g y de r) 

  • El período del péndulo es independiente de la amplitud (id.)

  • El cuadrado del período es proporcional a la longitud del péndulo. En efecto,

El término de la derecha es precisamente la definición de  frecuencia angular  ω, con lo que 

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