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Puzles de área y otros

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Áreas y volúmenes


Contenidos:

  • Deducción por división en piezas congruentes con las de una figura anterior de las fórmulas de área de las figuras planas elementales.

  • Estudio de las simetrías que se precisan para la transformación de figuras en otras equivalentes mediante su aplicación a una descomposición en un número finito de piezas.

  • Algunas propiedades elementales de las simetrías del plano.

  • Estudio con CABRI de la posibilidad de pasar de una pieza a otra con un movimiento continuo.

  • Coordinación con CABRI de dos traslaciones distintas continuas para empezar y acabar a la vez.

  • Coordinación con CABRI de dos giros continuos para empezar y acabar a la vez.

  • Coordinación con CABRI de un giro y una traslación continua para empezar y acabar a la vez.

  • Estudio de puzles particulares y su aplicación.

  • Deducción de algunas fórmulas de área y volumen de figuras espaciales.

  • Volumen del tetraedro a partir del método de Cavalieri.



Justificación:
Los conceptos de área y volumen están ligados a la perpendicularidad entre medidas. Así sus patrones naturales son el rectángulo y el ortoedro. La geometría griega abordó desde el principio la descomposición de una figura y su transformación en otra conocida para la justificación de su fórmula de medida (una especie de racionalidad geométrica). La imposibilidad de la extensión de esta idea a todas las figuras curvilíneas introdujo la aproximación como segunda regla para completar el catálogo de objetos medibles. Sorprendentemente este segundo método resultaría necesario en el espacio incluso para abordar el volumen de los poliedros.

Los puzles (entendidos en su acepción de mapas de piezas) permiten un desarrollo lógico y motivador de aspectos geométricos que relacionan medidas y movimientos, y que en el plano no requieren complejos razonamientos, lo que permite su uso metodológico en las enseñanzas primaria y media.


Metodología:

Aunque en la unidad los puzles aparecen resueltos, es no sólo claro, sino totalmente aconsejable, su planteamiento como ejercicios escalonados a resolver, pudiendo el profesor dar un tiempo prudencial para recibir las ideas o soluciones de los alumnos, y sólo en el caso de que éstas no se produzcan o estén desviadas, proceder a dar sugerencias o pistas. Es un método sin duda activo, donde se manejan los métodos de analogía, reducción, contraste y observación, y también generalización. A la vez se procura esa hilazón propia de una unidad, y desarrollar la riqueza de algunas “construcciones”. Aunque los contenidos del tema pudieran hacer pensar en su impartición para estudiantes de 4º de la ESO y esporádicamente de bachillerato, las partes más “técnicas” pueden ser soslayadas (lo mismo que el uso de CABRI ) y las ideas principales ser presentadas a alumnos incluso de 5º o 6º de Primaria, y servir de base a la introducción de áreas y volúmenes en esa etapa.


Puzles de área


Pasemos o repasemos primero los puzles de área de las figuras elementales del plano. En ellos la intención es doble, llegar a su fórmula de área y buscar un menor número de piezas simples.


Partamos sin más de la fórmula de área del rectángulo

Área del rectángulo: b x a




Puzle del paralelogramo (apoyado en su lado más largo):



Área del paralelogramo: b x h
(Observemos que si no está apoyado sobre el lado más largo, el puzle puede tener más piezas)



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Movimiento del puzle con CABRI

Para pasar de una a otra figura basta con trasladar un triángulo con el vector señalado:







Sin embargo si quisiéramos hacer el movimiento de traslación continuo crearíamos con CABRI el segmento MN y un vector donde P sería un punto en ese segmento. Daríamos después orden de trasladar el triángulo según el vector .


Tirando de P desde M hasta N vemos como el triángulo pasa de su posición en el paralelogramo al rectángulo.


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