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Resumen de las reglas y formularios

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I parcial de matemática I

Resumen de las reglas y formularios.



Productos Notables.

Se llaman productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación.

Cuadrado de la suma de dos cantidades.

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad más duplo de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.

(a+b)2=a2+2ab+b2

Ejercicio de 62 (algebra de baldor)

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades.

El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el duplo de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.

(a-b)2=a2-2ab+b2

Ejercicio de 63 (algebra de baldor)

Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades.

La suma de dos cantidades multiplicada por la diferencia es igual al cuadrado del minuendo (en diferencia) menos el cuadrado del sustraendo.

(a+b)(a-b)=a2-b2

Ejercicio 64 (algebra de baldor)

Casos especiales.

Efectuar (a+b+c)(a+b-c)=a2+2ab+b2-c2

Efectuar (a+b+c)(a-b-c)=a2-b2-2bc-c2

Ejercicio 65 (algebra de baldor)



Cubo de un binomio.

El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad más el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, más el cubo de la segunda.

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad, menos el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, menos el cubo de la segunda cantidad.

(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3

Ejercicio 66 (algebra de baldor)

Producto de dos binomios de la forma (x+a)(x+b).

  1. El primer término del producto es el producto de los primeros términos de los binomios.

  2. El coeficiente del segundo término del producto es la suma algebraica de los segundos términos de los binomios y en este término la x esta elevada a un exponente que es la mitad del que tiene esa letra en el primer término del producto.

  3. El tercer término del producto es el producto de los segundos términos de los binomios.

Ejercicio 67 y 68 (algebra de baldor)

Descomposición factorial.

Caso I Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común.

  1. Factor común monomio.

Sacar el factor común que existan entre los términos.

Ejercicio 89 (algebra de baldor)

  1. Factor común polinomio.

Cuando tienen de factor común un binomio o trinomio (polinomios).

Ejercicio 90 (algebra de baldor)

Caso II Factor común por agrupaciones de términos.

Se agrupa términos para simplificar o descomponer en factores.

Ejercicio 91 (algebra de baldor)

Caso III Trinomio cuadrado perfecto.

Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de otra cantidad, o sea, cuando es el producto de dos factores iguales.

Reglas para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto.

Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando el primero y tercero términos son cuadrados perfectos (o tienen raíz cuadrada exacta) y positivas, y el segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas.

Regla para factorar un trinomio cuadrado perfecto.

Se extrae la raíz cuadrada al primero y tercer términos del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado, que es la raíz cuadrada del trinomio, se multiplica por sí mismo o se eleva al cuadrado.

Caso Especial.

Descomponer a2+2a(a-b)+(a-b)2=(2a-b)2

Ejercicio 92 (algebra de baldor)

Caso IV Diferencia de cuadrados perfectos.

Regla para factorar una diferencia de cuadrados.

Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo.

Ejercicio 93 (algebra de baldor)

Caso Especial

Factorar (a+b)2-c2 =(a+b+c)(a+b-c).

Ejercicio 94 (algebra de baldor)

Casos Especiales Combinación de los casos III Y IV

Mediante un arreglo conveniente de sus términos se obtienen uno o dos trinomios cuadrados perfectos y descomponiendo estos trinomios (Caso III) se obtienen una diferencia de cuadrados (Caso IV).

Ejercicio 95 (algebra de baldor)



Caso V Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción.

Se comprueba si el trinomio es cuadrado perfecto, para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo término sea el duplo multiplicado por la raíz del primer término por la raíz del segundo término, eso se logra sumando o restando hasta conseguir el valor deseado.

Ejercicio 96 (algebra de baldor)

Caso especial

Factorar una suma de cuadrados.

En general una suma de cuadrados no tiene descomposición en factores racionales, es decir, factores en que no haya raíz, pero hay sumas de cuadrados que, sumándoles y restándoles una misma cantidad, pueden llevarse al caso anterior y descomponerse.

Ejercicio 97 (algebra de baldor)

Caso VI Trinomio de la forma x2+bx+c

Son trinomios si cumplen con las condiciones siguientes:

  1. El coeficiente del primer término es 1.

  2. El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado.

  3. El segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente uno y su coeficiente es una letra cualquiera, positiva o negativa.

  4. El tercer término es independiente de la letra que aparece en el primero y segundo términos y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.

Regla practica para factorar un trinomio de la forma x2+bx+c

  1. El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es la variable, o sea la raíz cuadrada del primer término del trinomio.

  2. En el primer factor, después de x se escribe el signo del segundo término del trinomio y en el segundo factor , después de x se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo término del trinomio por el signo del tercer término del trinomio.

  3. Si los dos factores binomios tienen en el medio signos iguales se busca dos números cuya suma sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. Estos números son los segundos término de los binomios.

  4. Si los dos factores binomios tienen en el medio signos distintos se buscan dos números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de estos números es el segundo término del primer binomio y el menor, el segundo término del segundo término.

Ejercicio 98 (Algebra de baldor)

Casos especiales.

El procedimientos anterior es aplicable a la factorización de trinomios que siendo de la forma x2+bx+c difieren algo de los estudiados anteriormente.

Ejercicio 99 (algebra de baldor)

Caso VII Trinomio de la forma ax2+bx+c

Se diferencian de los trinomios estudiados en el caso anterior en que el primer término tienen un coeficiente distinto 1.

Descomposición en factores de un trinomio ax2+bx+c.

  1. Multiplicamos el trinomio por el coeficiente de x2 que es a y dejando indicado el producto de a por bx.

  2. Descomponiendo este trinomio según se vio en el caso anterior, el primer término de cada factor será la raíz cuadrada de (ax)2 o sea ax.

  3. Dos números cuya diferencia o suma sea b y cuyo producto sea (ax)(c).

  4. Como al principio multiplicamos el trinomio por a, ahora tenemos que dividir por a, para no alterar el trinomio.

  5. Cuando ninguno de los binomios sea divisible por el dividendo, sacamos factor común de los binomios para simplificar el resultado.

Ejercicio 100 (algebra de baldor)

Casos especiales.

Se aplica el procedimiento anterior para estos casos, solo que difiere en la organización del trinomio y en sus signos. Se organiza el trinomio y se aplica el procedimiento anterior.

Ejercicio 101 (algebra de baldor)

Caso VIII Cubo perfecto de binomios.

Para que una expresión algebraica ordenada con respecto a una letra sea el cubo de un binomio, tienen que cumplir las siguientes condiciones:

  1. Tener cuatro términos.

  2. Que el primer y el último términos sean cubos perfectos.

  3. Que el segundo término sea más o menos el triplo cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del último término.

  4. Que el tercer término sea más el triplo de la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del último.

Ejercicio 102 (algebra de baldor)

Caso IX Suma o diferencia de cubos perfectos.

Formula 1 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

Regla 1.

La fórmula 1 nos dice:

La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:

  1. L a suma de sus raíces cúbicas.

  2. El cuadrado de la primera raíz menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.

Formula 2 a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

La fórmula 2 nos dice:

La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:

  1. La diferencia de sus raíces cubicas.

  2. El cuadrado de la primera raíz más el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.

Ejercicio 103 (algebra de baldor)

Casos especiales.

Sigue el mismo procedimiento del caso anterior la diferencia es que los términos al cubo son binomios o compuesto.

Ejercicio 104 (algebra de baldor)

Caso X Suma o diferencia de dos potencias iguales.

Factorar una suma o diferencia de potencias impares iguales.

an-bn es divisible por (a-b) siendo n par o impar.

Ejercicio 105 (algebra de baldor)

Ejercicio 106 (algebra de baldor) Resumen de todos los 10 casos.

MINIMO COMUN MULTIPLO.





M.C.M de monomios.

Se halla el mínimo común múltiplo de los coeficientes y a continuación de éste se escriben todas las letras distintas, sean comunes o no comunes , dando a cada letra el mayor exponente que tenga en las expresiones dadas.

Ejercicio 115 (algebra de baldor)

M.C.M. de monomios y polinomios.

Se descompone las expresiones dadas, en sus factores primos. El m.c.m. es el producto de los factores primos, comunes y no comunes, con su mayor exponente.

Ejercicio 116 (algebra de baldor)

M.C.M. de polinomios.

La regla es la misma del caso anterior.

Ejercicio 117 (algebra de baldor)

Simplificación de fracciones.

Simplificación de fracciones cuyos términos sean monomios.

Se dividen el numerador y el denominador por sus factores comunes hasta que sean primos entre sí.

Ejercicio 118 (Algebra de baldor)

Simplificación de fracciones cuyos términos sean polinomios.

Se descomponen en factores de polinomios todo los posible y suprimen los factores comunes al numerador y denominador.

Ejercicio 119 (algebra de baldor)



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